ハルのお勉強 フーリェ変換

音声、画像認識に必要な知識としてフーリェ変換があります。
私も素人です、特に農学部出身なので数学に関してはちんぷんかんぷんで
素っ頓狂なことを書くと思いますが、一緒にフーリェ変換を勉強しましょう
小さな実験用プログラム（windows用）を載せましたので興味のある人
はダウンしてみてください。
フーリェ　学習プログラム　ダウン

１）波について
複雑な波は単純な波の集合です。
１Ｈｚ，２Ｈｚ，３Ｈｚの３つの波を足してみました。
３Ｈｚは一秒間に波が三回あるということです。
f(t)=sin(θ)+sin(2θ)+sin(3θ)

実験プログラムを見てください。

「波の合成 周期変化」を起動してください

このプログラムで２つのことを勉強します。
目的

１． 波は単純な波が足されてできる。

２． 複雑な波は基本周波数の整数倍の波が足されている。

このプログラムでは周期を変化させることができます。
【ｕｐ】周期を上げる 【ｄｏ】周期を下げる
【波合成】３つの波を合成する。
f(t)=sin(θ)+sin(2θ)+sin(3θ)
2θと3θのところが変化します。
整数倍２，３．．．の時のみ複雑な波の周期と基本周期が一致します。
複雑な波の一番長い周期を「基本周期といい」、ここでは（１θ）
複雑な波は基本周期の整数倍になります。

θ，2θ，３θ でθが基本周期（プログラムのグラフィックをみてください。）

以上から複雑な波は
f(t)=a0+a1.cos(1wt)+b1.sin(1wt)+a2.cos(2wt)+b2.sin(2wt)+.....+an.cos(nwt)+bn.sin(nwt)
この式はシグマを用い

となります。
これをフーリェ級数といいます。

周期が同じ波でも振幅が異なる波が合成されている場合音色が変わります。
これはカクテルでも中に含まれるお酒の量で味が変わるのと同じです。
たとえばアメリカン・レモネード

カクテル１ （赤ワイン８０％、レモンジュース１０％、シロップ１０％）

カクテル２ （赤ワイン６０％、レモンジュース２０％、シロップ２０％）

ここで、波の各成分の振幅を求めることが大切だということです。

実験プログラムを見てください。

「波の合成 振幅変化」を起動してください

a0を【ｕｐ】上げる 【ｄｏ】下げるをして【波合成】をしてください。

それからa0,a1,b1,a2,b2を変化させ波の合成を観察して下さい。

次にa0を求めます。【a0を求める】をクリックして下さい。
ここでは各成分の波の面積を求めてみると
各波の面積は波ごとに表示されています。ここで正の波の面積
と負の波の面積を見て下さい。互いにうち消され、

ａ０掛ける時間のみが残ることがわかります。

式

ａ１だけの面積が残ります。またこの面積からＴ／２で割ればａ１が求まることがわかります。

式

次にｂ１を求めます。【ｂ１を求める】をクリックして下さい。
ｂ１を求めるには各波にｓｉｎ１ｗｔを掛けます。
ここでは各成分の波の面積を求めてみるとｂ１以外は互いにうち消され０となります。
各波の面積は波ごとに表示されていまから正の波の面積と負の波の面積を見て下さい。
上下が同じ筈です。

ｂ１だけの面積が残ります。またこの面積からＴ／２で割ればｂ１が求まることがわかります。

式

このようにｃｏｓ、ｓｉｎをかけ算して面積を求め周期で割ることにより

ａｎ，ｂｎが求まります。
これをフーリェ展開といいます。

（各波の振幅を求めること。）

次は 離散フーリェですが．．．．．

つづく